Soal Non Rutin Matematika SMP Kelas 7 KD 3.3

Download File Via PDF (Nggak Berantakan)

Bilangan BerpangkatKita ingat kembali bahwa untuk bilangan-bilangan cacah a, m, dan n dengan a 0,
berlaku:
1. am = a . a . a . . . a (sebanyak m faktor)
2. am . an = am + n3. a0 = 1, di mana a 0
Notasi-notasi di atas dapat diperluas untuk nilai-nilai a bilangan rasional. Sebagai contoh,
perhatikan bilangan-bilangan berikut:
Demikian juga dengan
Secara umum, untuk setiap bilangan rasional tak nol, kita mempunyai
Pangkat (eksponen) dari suatu bilangan rasional tak nol dapat juga diperluas dengan bilangan
bulat negatif. Perlu diingat bahwa setiap eksponen turun 1 maka bilangan pada ruas kanan
dibagi oleh 10. Dengan demikian, kita dapat membuat pola sebagai berikut:
103 = 10 . 10 . 10
102 = 10 . 10
101 = 10
100 = 1
10-1 = 1/10 = 1/10110-2 = (1/10). (1/10) = 1/1022 3
.
2 3
.
2 3
.
2 3
2 34
2 3 2 3 52 3
2 3
2 3
.
2 3
.
2 3
.
2 3
.
2 3
2 3
.
2 3
1
2 3010a b
10-3 = (1/102).(1/10) = 1/103Jika pola ini diperluas maka kita dapat memprediksikan bahwa 10-n = 1/10nSecara umum, untuk sebarang bilangan a tak nol berlaku a-n = 1/anPenjelasan lain untuk definisi a-n adalah sebagai berikut:
Jika sifat am . an = am + n maka a-n . an = a0 = 1. Dengan demikian, a-n adalah invers kali dari an,
dan akibatnya a-n = 1/anPerhatikan apakah am. an = am + n dapat diperluas untuk semua pangkat dari a di mana
pangkatnya adalah bilangan bulat. Sebagai contoh, apakah benar 24.2-3 = 24 + -3 = 21? Definisi
2-3 dan sifat-sifat pangkat tak negatif menjamin bahwa hal ini benar sebagaimana tampak dari
yang berikut ini.
24. 2-3 = (24)(1/23) = 24/23 = 21Begitu juga dengan
2-4.2-3 = 2-4 + -3 = 2-7 benar, karena
2-4.2-3 = (1/24)(1/23) = 1/(24.23) =1/27 =2-7Secara umum, dengan pangkat bilangan bulat, kita mempunyai sifat sebagai berikut.
Sifat 1
Untuksebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n, berlaku am.
am= am + nSifat-sifat lain dari perpangkatan dapat dikembangkan dengan menggunakan sifatsifat bilangan rasional. Sebagai contoh,
25/ 23 = (23 . 22) / 23 = 22 = 25 – 325/ 28 = 25 / (25 . 23) = 1 / 23 = 2 – 3 = 2 5 – 8Dengan pangkat bilangan bulat, kita mempunyai sifat berikut.
Sifat 2
Untuk sebarang bilangan rasional a tak nol dan untuk sebarang bilangan bulat m dan n,
berlaku
am / an = am - nMisalkan a bilangan rasional tak nol, m dan n bilangan bulat positif.
(am)n = am . am . am . . . am (sebanyak n faktor)
= am + m + m + … + m (sebanyak n suku)
= anm= amnDengan demikian,
(am)n = amnSebagai contoh,
(23)4 = 23.4= 212Apakah sifat ini berlaku pula untuk pangkat yang berbentuk bilangan bulat negatif? Sebagai
contoh,
a. (23)-4 = 2(3)(-4)= 2-12b. (2-3)4 = (1/23) 4= (1/23) (1/23) (1/23) (1/23)
= 14/(23)4= 1/212= 212Sifat 3
Untuk sebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n berlaku
(am)n = amnMenggunakan definisi dan sifat-sifat yang dikembangkan, kita dapat menurunkan
sifat selanjutnya.
Sebagai contoh,
(2/3)4 = 2/3 . 2/3 . 2/3 . 2/3
= (2 . 2 . 2. 2) / (3 . 3. 3. 3)
= 24/34Contoh di atas dapat diperumumkan menjadi sifat berikut:
Sifat 4
Untuk sebarang bilangan rasional a/b tak nol dan sebarang bilangan bulat m, berlaku
(a/b)m = am / bmDari definisi pangkat negatif, sifat di atas, dan pembagian bilangan pecahan, kita memperoleh
(a/b)-m = 1/(a/b)m= 1/(am/bm)
= bm/am= (b/a) mAkibatnya,
(a/b)-m = (b/a) mSifat yang sama berlaku pula untuk perkalian. Sebagai contoh,
(2 . 3)-3 = 1/(2.3)3= 1/(23.33)
= (1/23) (1/33)
= 2-3. 3-3Dan secara umum, jika a, b bilangan rasional dan m bilangan bulat maka
(a . b)m = a m . b m .
Soal Latihan.
Tuliskan soal-soal berikut ini dalam bentuk yang paling sederhana, menggunakan pangkat
positif pada akhir jawaban.
1. 162 . 8-32. 202 : 243. (3x)3 + 2y2 x0 + 5y2 + x2. x, di mana x 0.
4. (a-3 + b-3)-1Jawab
1. 162 . 8-3 = (24) 2. (23)-3= 28 . 2-9= 2-1= ½.
2. 202/24 = (22. 5) 2 / 24= (24. 5 2) / 24= 523. (3x)3 + 2y2 x0 + 5y2 + x2.x = 27x3 + 2y2 + 5y2 + x3= (27x3 + x3) + (2y2 + 5y2)
= 28x3 + 7y24. (a-3 + b-3)-1 = (1/a3 + 1/b3)-1= ((b3 + a3) / a3 b3)-1
= 1/((a3 + b3) / a3b3)
= a3b3 /(a3 + b3)Rangkuman1. Jika m bilangan bulat positif maka berlaku, am = a . a . a. . . . a (sebanyak m faktor)
2. a0 = 1, di mana a 0.
3. a-m = 1/am, di mana a 0.
4. am. am = am + n5. am /an = a m – n , di mana a 0.
6. (am)n = amn7. (a/b)m = am . bm, di mana b 0.
8. (ab)m = a m.b m9. (a/b)-m = (b/a)m, di mana a 0 dan b 0.Uji KompetensiLingkarilah salah satu jawaban yang menurut anda benar.
1. Bentuk paling sederhana dari a/a-1,di mana a 0 adalah
a. a-2b. a
c. 1d.a2
2. Pernyataan berikut yang benar adalah
a. am . bn = (a b)m + nb. am . bm = (a b)2mc. amn= amand. (a/b)-1 = b/a
3. Nilai n untuk 2n = 32 adalah
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
4. Nilai n untuk 2n .2 7 = 32 adalah
a. –2
b. –1
c. 1
d. 2
5. Satu orang diperkirakan memiliki 25 trilion (25.1012) sel darah merah. Rata-rata jari-jari
setiap sel darah itu adalah 4.10-3 mm. Jika sel-sel darah merah tersebut disusun berjajar
dalam sebuah garis lurus, maka panjang seluruh sel-sel darah itu adalah
a. 2.105 km
b. 2.105 m
c. 2.105 cm
d. 2.105 mm
6. Jika n adalah bilangan bulat maka nilai n untuk 32n 27 adalah
a. n = 2
b. n = 3
c. n 3
d. n 2
7. Pernyataan berikut yang benar adalah
a. 4 3000 34000b. 32 50 4100c. (-3) –75 (-27) -15d. (4/3) 10 (5/4)108. Jika suku ke-n suatu barisan adalah an = 3.2-n maka suku pertama yang kurang dari
3/1000 adalah
a. 3/1024
b. 3/1032
a. 3/1064
b. 3/1082
9. Jika f(n) = ¾. 2n maka nilai bilangan bulat terbesar n sehingga f(n) < 3/400 adalah
a. -7
b. -6
c. 7
d. 6
10. Misalkan banyaknya bakteri pada suatu tempat tertentu diberikan sebagai fungsi dari
waktu, Q(t) = 1010 (6/5)t, di mana t adalah waktu dalam detik dan Q(t) adalah banyaknya
bakteri pada saat t detik. Banyaknya bakteri setelah 2 detik adalah
a. Tepat 1010 (6/5)2b. Lebih dari1010 (6/5)2c. Kurang dari 1010 (6/5)2d. Kurang dari atau sama dengan 1010 (6/5)2.